近日，庞加莱猜想这一千禧年难题的完整证明首次以代码的形式被整理出来，背后站着的竟然是一个仅有四人的小团队。在这个团队中，带头的是丘成桐的弟子，无愧于数学界的老教授，他在Ricci流研究领域耕耘了数十年。而参与这项工作的年轻一员则是一位刚从大学毕业的本科生，团队的后方更有一套24小时不间断运作的AI系统助阵。他们借助名为Lean的证明助手，毫无保留地将Hamilton与佩雷尔曼的证明过程详尽地编写成了大约470万行代码。其中，令人惊叹的是，有约270万行是在最后两周借助ChatGPT、Claude等AI的全力支持下迅速产出的。这470万行代码在Lean的内核检测中毫无瑕疵，不存在因为“回头再证明”而留下的空白。

在过去，数学界对于重大证明的认可往往需要同行花费数年的时间逐条审阅，而如今，机器取代人类成为了审查和验证的主角，而AI则担当起了注意力的重任。佩雷尔曼多年来的心血结果仅占据了这庞大证明的一小部分。

我们下载了整个代码库，并沿着最终得出的庞加莱定理，追溯了其直接和间接引用的代码。真正发挥作用的文件达到14197个，约402万行，其中最长一条引用链穿插了353个文件。佩雷尔曼的三篇论文所对应的代码加在一起不过约66万行，区区占据的比例仅为六分之一。论文越是简洁，Lean里需要补充的代码愈加庞杂，例如第3篇论文仅仅七页长，却在Lean中平均每页对应着1.4万行。文中一处轻描淡写提到的曲线缩短流，作为一个简洁概念，在Lean中的表达却需要高达7.6万行代码。其余的六分之五则是佩雷尔曼在论文中以为“读者已经很懂了”的基础数学内容，其中分析学部分约占109万行，微分几何则约占77万行。 头号玩家官网

Ricci流，就作为佩雷尔曼证明背后的核心工具，它如同热传导一样，让空间弯曲严重的区域逐渐平滑。短时间存在性是一个经典的论断，意指任意给定初始形状，Ricci流至少能够流动一段时间。而这一结论在论文中只需简单引用前人的结果。然而，Ricci流方程一旦换用不同坐标表达，其形式便大为改变，不再是标准热方程。1983年，DeTurck采用的方法是首先在方程中增添一项，将其转变为标准热方程，进而求解后再转回。这种方法在Lean中则需要从零开始写出Sobolev空间、谱理论等工具，仅这一定理便需要89万行代码。

佩雷尔曼的核心优势在于典范邻域定理，该定理指出，在Ricci流中，弯曲程度将趋近于无穷大的区域，其形状必然极为规整。这样的形状要么是细长的圆管，称为“颈”，要么是在管的一端封闭的形状，称为“帽”。证明该定理的过程，竟需要用到272万行代码，占据了整个依赖链的三分之二。

这一代际交替的背后，不仅有经验丰富的老教授Ben Chow，更有冲在最前线的本科新星Ziyang Qin。今年刚从康奈尔大学毕业，Ziyang在这次庞大的项目中已提交了7477次，团队合作的紧密程度可见一斑。团队其他成员还包括来自普林斯顿的Ayush Khaitan，他在项目最后两周也贡献了力量。 头号玩家官网

至于具体采用了哪些AI工具，Khaitan指出了关键，团队主要依赖ChatGPT Astra，同时将部分更具挑战性的章节交由Claude Fable处理。在这个开放的工具包内，顶层的AI是研究者与系统的直接交互界面，负责整体的思路指引，并不直接撰写代码，而是确保数学路线的清晰。紧接着，底层则是一个长期运作的“调度”AI，负责细化任务并派发，而实际撰写证明、校对、查找资料的则是众多完成一项任务后便退出的临时AI。

在整个冲刺阶段，团队参考了1977年发布的拓扑学教科书，逐节分工合作。随着进度的推进，一个个并行任务被划分，而在任务执行过程中，不断强调的是绝不能为了证明的成立而削弱命题的严谨性，若发现命题不成立，反例也算是成功的报告。随着时间的推移，项目的成果将会逐渐显现，庞加莱猜想的机器验证已然开创了数学证明的新篇章。